EIXOS CRISTALOGRÁFICOS, PARÂMETROS E CONSTANTES CRISTALOGRÁFICAS

Para fixar a posição das faces de um cristal utiliza-se um sistema de eixos de referência, conhecido como sistema de eixos cristalográficos, ele que se faz coincidir com os eixos de simetria ou com três arestas concorrente a um vértice. Estabelecido este sistema, as distâncias em que cada face corte a cada eixo medidas a partir da origem, constituem os parâmetros. Na Fig. 32 as distâncias AO (a), OB (b) e OC (c) são os parâmetros da face ABC. Se as faces cortam os eixos em seu comprimento, podem ser negativos (a ̅, b ̅, c ̅ ). Se expressam-se em forma de relação a:b:c, constituem o símbolo da face (relação axial).

Fig. 32. Eixos cristalográficos.

Fonte:

As faces que cortam os três eixos se chamam piramidais (Fig. 33ª), as que cortam dois eixos e são paralelas a um terceiro, têm caráter prismático (Fig. 33b) e se somente cortam um eixo, são pinacoidais (Fig. 33c).

A partir de medições angulares feitas com goniômetro, e as longitudes (a, b, c) das intersecções dos planos sobre os eixos do cristal, podem calcular-se seus três eixos X, Y, Z. Para isto, o parâmetro do eixo b faz-se igual à unidade y, comparando com ele os correspondentes dos eixos a e c, se obtêm a relação paramétrica chamada relação áxica. Por exemplo, para o iodo, ortorrômbico, e o enxofre, se tem:

iodo = a:b:c = 0.661:1:1.348

enxofre = a:b:c = 0.813:1:1.904

Isto significa que se o parâmetro b tem um centímetro, o de a teria 8.1 milímetros e c terá 19 milímetros no caso do enxofre.

Fig. 33. Face piramidal (a), prismática (b) e pinacoidal (c).

ÍNDICES DE MILLER

As faces de um cristal ou os planos reticulares de uma rede cristalina podem caracterizar-se mediante um sistema de coordenadas espaciais. Miller em 1839, (citado por Azaroff3) idealizou um sistema, para descrever as faces cristalinas, que continua a ser usado até hoje em dia. Considere-se, por exemplo, um sistema de três eixos coordenados perpendiculares ente si OX, OY e OZ, como mostra na Fig. 34. Sejam a, b, c as distâncias sobre os ditos eixos que caracterizam uma célula unitária. ABC é o plano unidade da rede espacial, e a, b, c são os parâmetros. Para definir outro plano qualquer da rede, por exemplo o plano LMN, os segmentos de intersecção OL, OM e ON se expressam, primeiramente, como múltiplos ou frações dos parâmetros. Na Fig. 34 vê-se que OL = 2; OM = 3 e ON = 3 e a notação da face é 2:3:3. Os recíprocos destes números são 1/2, 1/3 e 1/3 e se encontram numa relação 3:2:2. Estes números são os chamados índices de Miller ou valores h, k e l do plano LMN, que se designa como plano (322). 

O uso dos recíprocos das interseções evita o uso do conceito de infinito e as obrigatórias dificuldade de cálculo. Os recíprocos se expressam em primeira instância como frações, isto é, se dá um valor inteiro e então se referem como índices de Miller, onde h = 1/a, k = 1/b e l = 1/c, os índices de Miller são inversamente proporcionais às interações dum plano de uma rede, com os eixos eleitos.

Sempre pode-se encontrar um grupo de eixos no qual os recíprocos das intersecções são números inteiros pequenos. Para o plano ABC, os índices são (111), já que os múltiplos de a, b, c são, neste caso, iguais à unidade. Isto equivale à chamada “lei das intersecções racionais” enunciada por Haüy.

Fig. 34. Eixos cristalográficos. Idenfiticação dos planos mediante os índices de Miller.

LMN: plano paramétrico, sendo os parâmetros cristalográficos OL = a, OM = b, ON = c.

ABC: face do cristal que intercepta a/1:b/1:c/1 e cujos índices de Miller são (111)

Face FGHI intercepta a/∞:b/∞:c/1 e cujos índices de Miller são (001).

É evidente que quando uma face ou plano é paralelo a um eixo, a intersecção se encontra no infinito e o índice de Miller se transforma em 1/∞ = O.

A notação de Miller se aplica também aos planos traçados no interior de uma rede cristalina, como se observa na Fig. 35 que mostra parte de uma distribuição cúbica de átomos (Jenkins e de Vries1 7). Nesta figura se veem:

Uma série de planos em que a distância entre eles é sempre uma unidade assim:

Fig. 35. Uma série de planos com diferente índices de Miller (segundo Jenkins e de Vries1 7).

SISTEMAS CIRSTALINOS

A agrupação das formas cristalinas que apresentam os mesmo elementos de simetria permite obter-se um conjunto de formas que constitui uma classe de simetria. Por sua vez, esta associação permite agrupar os cristais de modo que em cada grupo se encontrem aqueles que possuem simetrias de mesma ordem. Tais grupos ou conjuntos constituem os sete sistemas cristalinos que agrupam 32 classes de simetria ou grupos pontuais, os quais dão origem a 230 formas cristalográficas ou grupos especiais (cf. Fig. 36).

Fonte:

As formas cristalinas provem de colocar uma base de átomos ou moléculas nas diferentes redes de Bravais e das diferentes operações de simetria e combinação delas que podem se realizar.

REDES DE BRAVAIS

Uma rede de pontos no espaço constitui uma rede de Bravais. É possível reduzir todas as formas cristalina a somente quatorze redes simples que são chamadas de redes de Bravais, ou redes 

espaciais. 

Fonte:

Fonte:

Se os átomos ou moléculas constituintes do sólido se situam nos vértices do poliedro, trata-se de uma rede simples; se, no entanto, contém átomos em outras posições, faces ou centro, forma-se uma rede composta. Combinando estas redes fundamentais pode-se obter quaisquer formas cristalinas.

Nas redes de faces centralizadas há uma partícula situada em cada vértice e uma no centro de cada face. Nas redes de corpos centralizados, há uma partícula em cada esquina e também, uma no centro do poliedro.

CONCEITO DE ISOMORFISMO, POLIMORFISMO E POLITIPISMO

Trata-se de modificações da composição ou estrutura de grande importância nos silicatos cristalinos.

Isomorfismo

Chama-se assim o fenômeno segundo o qual, substâncias que ainda que tenham composição química diferente, desenvolvem cristais que têm forma e estrutura similar. Diz-se que se trata de substâncias isoestruturais. Um exemplo clássico são as séries dos alúmens.

Fig. 36. Os sete sistemas cristalinos.

Fig. 37. As quatorze redes de Bravais: (1) cubica simples, (2) cúbica de corpos centralizados, (3) cúbica de faces centralizadas, (4) tetragonal simples, (5) tetragonal de corpos centralizados, (6) romboédrico simples, (7) hexagonal de faces centralizadas, (8) ortorrômbico simples, (9) ortorrômbico de bases centralizadas, (10) ortorrômbico de corpos centralizados, (11) ortorrômbico de bases e faces centralizadas, (12) monoclínico simples, (13) monoclínico de bases centralizadas, (14) triclínico simples.

O isomorfismo se apresenta com bastante frequência entre os filossilicatos, que desenvolvem séries isomorfas entre dois termos de composição diferente: montmorilonita-beidellita, beidellita-montronita, etc. Também apresentam-se séries isomorfas entre silicatos e germanatos.

Se as estruturas são as mesmas e sua composição química é similar, mas não idêntica, de modo que possam formar cristais compostos chamados soluções sólidas, as possibilidades de formar compostos isomorfos são grandes.

Nos filossilicatos, a substituição de um íon metálico estrutural por outro, por exemplo, Si por Al, Al por Fe, Al por Mg, é um fenômeno muito frequente que define muitas espécies e constitui a causa, dentre outras, de feitos tão importantes como a troca catiônica.

Polimorfismo

Chama-se assim o fenômeno segundo o qual uma substância química produz diferentes formas cristalinas. Ainda que a composição dos polimorfos sejam iguais, suas propriedades físicas são diferentes.

Fonte:

Cristobalita

Tridimita

Quando o polimorfismo se apresenta em apenas um elemento, chama-se alotropia. Exemplos são o enxofre, que pode se cristalizar no sistema rômbico ou monoclínico, e o oxigênio (O2) e o ozônio (O3) que são formas alotrópicas do mesmo elemento. Também são conhecidos os estados alotrópicos do fósforo.

Politipismo

É uma forma especial de polimorfismo. A modificação da estrutura implica em uma diferença na distribuição do empilhamento de lâminas ou placas idênticas. É um fenômeno frequente na maioria dos filossilicatos, tais como micas, caulinitas, cloritas, etc.

CRISTAIS IDEAIS E REAIS. DEFEITOS OU IMPERFEIÇÕES CRISTALINAS

Nas páginas seguintes se discutirão os diversos aspectos de simetria cristalina, concebendo os cristais como entidades perfeitas, constituídos por esferas rígidas, indeformáveis (átomos, íons ou moléculas) dispostas nos nós de uma rede tridimensional. Na realidade, geralmente isto não é assim, e se diz que os sólidos apresentam defeitos, enquanto não exibem uma ordem completa. Logo mais estes defeito serão levados em consideração, mas antes, convém definir o que se entende por cristal ideal e cristal real.

Cristal ideal é aquele no qual as fileiras de partículas que constituem a rede, permanecem sem desviar-se para todas as direções do cristal; é uma distribuição periódica que adquirem as partículas conforme a simetria de um dos 230 grupos espaciais (Azaroff³). A maior parte dos cristais naturais, equeles com que se trabalha em laboratório, desviam-se em alguma extensão dos modelos ideais e se chamam cristais reais.

Exemplo do que seria um cristal ideal

Fonte:

O termo imperfeição, ou defeito, nos sólidos, se usa para decrever qualquer desvio que sofra uma distribuição ordenada. Esta pode ocorrer por irregularidade na distribuição de suas unidades, como se sucede com as posições vazias, os átomos intersticiais, as deslocações e a substituição de uma classe de espécies por outra, como são com os átomos de impureza ou os centros F* (Sienko e Plane29). Fora os defeitos produzidos por deslocamento atômico nos cristais, é provável quem algumas imperfeições sejam produzidas em escala subatômica. Estas últimas são as chamadas imperfeições eletrônicas e são de grande importância para a explicação dos fenômenos de condutividade elétrica e outros relacionados aos sólidos (Azaroff³). Alguns autores consideram como defeito a própria superfície dos cristais, já que nela termina abruptamente a distribuição regular infinita de um cristal perfeito, deixando íons ou átomos em posições estruturais e energéticas anormais. É um fato que as superfícies neste limite têm uma influência determinante no comportamento do sistema.

(*) Considera-se que os Centros F (Farbenzentren) povenham de elétrons presos nas vacantes aniônicas, sendo o número de elétrons igual ao número de cátions em excesso nas posições catiônicas normais. São responsáveis pelas cores observadas em haletos alcalinos não estequiométricos (Sienko y Plane2 9).

Fonte:

Como consequência da entropia, é possível que a qualquer temperatura acima do zero absoluto, alguns átomos se desloquem de suas posições normais na rede a outras intersticiais, e que alguns átomos passem de suas posições normais no interior do cristal a outras na superfície. O primeiro tipo de defeito se chama defeito Frenkel, e o segundo se chama defeito Schottky.

Um defeito Schottky consiste em uma posição catiônica e outra aniônica vacante na rede, como se observa na Fig. 38. Estes defeitos se formam quando os íons deixam suas posições reticulares normais e se situam na superfície do cristal. Em um cristal simples do tipo AC, as posições vacantes implicam o mesmo número de cátions e ânions, já que a neutralidade elétrica deve se manter. Os defeitos Schottky se favorecem quando os íons são de tamanhos parecidos.

Fonte:

Fig. 38. Defeito Schottky de um cristal CA. No zero absoluto o cristal é absolutamente regular; acima desta temperatura surgem defeitos com um número igual de posições vazias tanto em ânions quanto em cátions.

No geral, a concentração de defeitos Schottky não afeta a densidade, já que é muito baixa. Todavia, há situações nas quais se chega a acumular 15% de posições vacantes, como é o caso do -TiO, e então a diferença de densidade é mensurável (Sienko e Plane29).

O defeitos de Frenkel consiste de um íon intersticial e uma posição livre na rede. Ocorre quando alguns íons deixam sua posição normal e se situam em posições intersticiais, como se observa na Fig. 39. Para um cristal AC: 

Fig. 39. Defeito de Frenkel. O cristal é absolutamente regular no zero absoluto. Acima desta temperatura se desordena; um cátion se situa em uma posição intersticial, ficando vacante uma posição catiônica equivalente.

Os defeitos de Frenkel são estimulados pela existência de cátions pequenos combinados com ânions fortemente polarizáveis.

Fonte:

b. Os defeitos Schottky e Frenkel, por ocorrer em pontos do cristal, chamam-se frequentemente de defeitos pontuais.

Outro tipo de defeito são as deslocações. Estas se produzem quando a periodicidade em uma linha de átomos em uma rede se interrompe em determinadas direções do cristal, e se chamam defeitos ou imperfeições lineares. Ocorre quando há um desalinhamento de átomos em comparação aos seus vizinhos e as deslocações mais importantes são as de aresta e as de espiral.

A deslocação de aresta consiste em uma linha reta de átomos, cada uma das quais têm um átomo de coordenação, com exceção do requerido pela estrutura do cristal. Este tipo de deslocação de indica pelo símbolo l e pode considerar-se como produzida ao inserir-se um plano da rede somente em uma porção do cristal e fechando o cristal novamente. Uma vez que o cristal se fecha, não existe nada anormal na distribuição dos átomos por este plano. A estrutura é anormal somente perto da linha ao longo da qual o plano extra termina, como pode ver-se na Fig. 40. Fora destes limites, a periodicidade é normal.

Fig. 40. Representação de uma deslocação de aresta, marcada pelo símbolo. A seta indica o plano de átomos inseridos no cristal.

Na deslocação de espiral, uma fila de átomos, cada um dos quais tem o número correto de átomos de coordenação do poliedro de coordenação está distorcido. A linha de átomos desalinhados com respeito aos vizinhos, representa um eixo no qual os planos do cristal estão deformados para produzir um efeito parecido com a espiral de um parafuso (Sienko e Plane29). Isto pode se ver em um cristal tridimensional como se observa na Fig. 41.

Fig. 41. Representação de uma deslocação de espiral. Uma parte do cristal está deslocada em comparação ao resto do cristal, terminando este deslocamento dentro do cristal.

Outro tipo de imperfeições são os chamados defeitos de plano, referidos à natureza do limite entre regiões de cristais similares ou distintos. Incluem-se também, nestes defeitos de plano, as falhas de empilhamento.

A maioria dos materiais comuns consistem no entrelaçamento de cristais muito pequenos, ou grãos, que têm uma orientação ao acaso. O limite entre dois grãos adjacentes deve então ter uma estrutura que de algum modo conforme à estrutura e orientação de ambos os grãos. Deduz-se que o limite dos grãos forma uma descontinuidade na periodicidade da rede dos cristais ou grãos e é um tipo de imperfeição de rede (Azaroff³).

Nos defeitos de empilhamento, o limite entre duas partes de um empilhamento têm sequencias de alternadas.

Fonte:

No caso dos minerais de argila, e particularmente nas argilas dos solos, os cristais são defeituosos principalmente devido às condições de sua formação, isomorfismo e politipismo. Dekeyser e Amelincko7 na Bélgica, e Hendricks1 4 nos Estados Unidos, fizeram uma série de estudos sobre o politipismo e imperfeições nos minerais de argila, especialmente em micas. No grupo das caulinitas, estes estudos se resultaram muito dificultosos devido à pequenez dos cristais e por seu alto grau de imperfeição.

Outros tipos de defeitos reticulares, incluindo fônons éxcitons, elétrons e prótons não serão considerados neste estudo.

Como assinala Greenwood¹ ³, “pode parecer surpreendente que os cristais em equilíbrio termodinâmico estejam expostos a estes defeitos, os quais surgem pela tendência espontânea de todo sistema a aumentar sua entropia ou grau de desordem. Um cristal é uma distribuição muito ordenada de íons com baixa entropia; a desorganização completa destes íons originaria um fluido com uma entropia muito maior, mas esta desorganização se opõe ao fato de que a formação de defeitos requer energia, da mesma forma que a fusão ou vaporização. A qualquer temperatura existirá uma resultante entre estas duas tendências opostas, e em equilíbrio o grau de desordem (número de defeitos) será o que seja mínima a energia de livre do cristal”.

SUBSTITUIÇÃO ISOMÓRFICA OU DIADOCICA 

É pouco frequente que se apresentem minerais puros na natureza. Geralmente um ou mais íons são substituídos em certa proporção por outros íons, sendo a substituição essencialmente catiônica. Um exemplo conhecido é o da dolomita, um calcário magnésico similar à calcita (CaCO3), mas com alguns íons de Mg substituídos por íons de Ca. Tal substituição de um íon por outro em um cristal, conservando as mesmas estruturas, é o que se chama substituição isomórfica.

Calcita

Dolomita

Ao tratar das regras de Pauling23, 24, com referência à distribuição dos ânions ao redor de um cátion determinado, se viu que o número de ânions que participam é somente função da razão dos raios do cátion e do ânion (rC/rA). Dito de outro modo, a estrutura a determina primeiramente o emplaquetamento dos ânions. Por outra parte, os cátions que se associam com um grupo de ânions, o fazem em função de seu tamanho e do espaço livre que deixam os ânions (número de coordenação). Por isso, um grupo aniônico determinado será compatível com cátions de natureza distinta sempre que seus tamanhos sejam parecidos. Tais substâncias, com estruturas iguais e uma composição química similar, mas não idêntica, podem formar cristais compostos chamados soluções sólidas. 

É necessário destacar que a valência dos cátions isomórficos não constitui um fator que modifique a capacidade de substituir-se uns aos outros. Deve, de qualquer modo, manter-se a neutralidade elétrica da estrutura e sempre deve compensar-se o déficit provocado pela substituição de um íon de valência maior por outro de valência menor, seja admitindo íons adicionais à estrutura, ou mudando a valência de algum íon existente. Quer dizer, deve respeitar-se as regras de Pauling. 

A substituição isomórfica ocorre com muita frequência nos silicatos e outros minerais que não mostram constância na composição química e pode ser parcial ou completa. Geralmente, um íons pode substituir a outro quando seus raios iônios deferem em menos de uns 15%. Os cátions substituem a outros cátions, mas ânions como OH- e F- e outros poderiam entrar na estrutura de um mineral para substituir oxigênio.

Fonte: Do assunto Cristalografia e Cristaloquimica mandado por Profª Agna Almeida Menezes

Algumas substituições frequentes em filossilicatos são a de Mg por Ca (sempre que este tenha número de coordenação seis), Fe3+ por Al ou Fe2+ por Mg. Tais substituições não modificam o balanço elétrico e deve ser compensado pela introdução de cátions adicionais. Se o Al3+ substitui o Si4+, deve compensar-se uma unidade de valência positiva. É o caso dos feldspatos, onde alguns íons de silício estão substituídos por alumínio, e se introduz potássio ou sódio para chegar a neutralidade elétrica. Isto pode se expressar como:

Si4+ K+ + Al3+

A razão do raio do alumínio ao do oxigênio é de cerca de 0.42, a qual é muito próxima do valor 0.414 que é o valor limite para a transição da coordenação seis a quatro. Esta é a causa de que o alumínio possa ocupar posições octaédricas e tetraédricas coordenadas por oxigênio e inclusive possa exibir ambos os tipos de coordenação é uma estrutura.

Lowenstein19 sugeriu algumas regras de regem a disposição de alumínios e silícios na coordenação tetraédrica. Se considera que quando um átomo de oxigênio é comum ou une a dois tetraedros adjacentes, somente um dos tetraedros podem estar ocupado por alumínio. Se dois íons alumínio são vizinhos a um oxigênio comum, ao menos um íon alumínio deve ter um número de coordenação maior que quatro. Esta regra explica a limitação de cerca de 50% da substituição isomórfica por alumínio, apreciável em estruturas com tetraedros polimerizados, excetuando-se as clintonitas. O incremento da carga negativa do tetraedro, derivado da substituição do silício por alumínio, deve ser compensado na estrutura por uma troca equivalente, tal como a substituição de um cátion monovalente por outro bivalente.

Geralmente o alumínio substitui o silício nos tetraedros, e o ferro, magnésio e alguns poucos cátions com tamanhos parecidos substituem o alumínio nos octaedros. Como estes íons são de tamanho maior do que os substituídos, as estruturas estão submetidas a tensões. Se o íon Al3+ (0.55 Å) substitui o íon Si4+ (0.39 Å) em uma disposição tetraédrica, posto que p Al3+ é maior que o Si4+, os átomos de oxigênio ficarão ligeiramente deslocados ao redor do alumínio, e isto significa que um tetraedro de alumínio será, necessariamente, manos estável que um de silício. Algo semelhante ocorre quando íons de Mg2+ (0.65 Å) ou Fe2+ (0.76 Å) substituem o Al3+ em uma disposição octaédrica.

Deve lembrar-se, finalmente, que as substituições isomórficas nos silicatos se produzem no momento de sua gênese. Uma vez formados, a substituição de um íons é um processo muito lento. Não deve confundir-se uma substituição isomórfica com o intercâmbio de íons, que é um fenômeno essencialmente externo.

OS PRINCIPAIS FUNDAMENTO DA CRISTALOQUIMICA

Goldschimidt1 2, baseando-se em estudos de numerosas substancias, deduziu o principio que deve ser considerado fundamental a cristaloquimica: “a estrutura de uma substancia de composição química definida depende da relação estequiométrica de seus componentes, de seu tamanho relativo e da polarização dos mesmos”. Segundo Amorós2, a pesar das limitações, este principio indica de modo simples quais são os fatores essenciais que intervém na seleção de uma determinada estrutura. Uma consequência desse principio é o isomorfismo. 

O segundo princípio da cristaloquímica estabelece em forma semi-empírica as relações entre a estrutura e a energia reticular. Conhece-se como a equação de Kapustinskii que se baseia na fórmula geral de Born:

no qual n é o número de átomo na célula Elemental*, za a carga do ânion de raio ra e zc a carga de cátion de raio rc. Desta fórmula se deduz que a energia cristalina depende do número de partículas estrutural, de sua dimensão, carga e polarização.

REGRAS DE PAULING

As cincos regras, de Pauling2 3, nota a estabilidade que tem os poliedros de coordenação, a forma como se agrupam e como se propagam as forças de valência entre eles, e são fundamentais para compreender a estrutura dos minerais de argila: 

Em torno de cada cátion se forma um poliedro coordenado de ânions, estando determinada a distancia cátion-ânion pela soma dos raios (rA + rC) e o número de coordenação em razão dos raios (rC/rA).

Fig.1- A distância entre cations e anions é igual a soma dos raios deles. Os raios determinam o tipo de poliédra e, portanto, o numero de coordenação.

Fonte : Jonh D. Winter

Em uma estrutura iônica estável a soma da força total de ligações de valência procedente de todos os cátions vizinhos é igual a carga do ânion. Isto significa que as somas das cargas positivas e negativas em uma rede cristalina devem ser iguais, para que a estrutura seja estável. Este princípio é conhecido como a “regra eletrostática de Pauling”.

Estra regra é importante nas estruturas complexas em que a valência do cátion se divide pelo número de íons negativos que o rodeia (ânions coordenados) e isto dá a fração de valência do ânion satisfeita pelo cátion. Para cada ânion a soma das contribuições dos cátions que os rodeiam devem ser igual a sua valência.

A soma das forças individuais entre cátions e ânions = carga do anion

Fonte: Jonh D. Winter

Considere, por exemplo, o tetraedro de SiO4. A valência do cátion é +4, enquanto que o do ânion é -2, de modo que a última tem apenas uma de suas valências satisfeitas pelo íon Si4+, ou é a metade de sua valência total. Isto permite que cada vértice do tetraedro de silício possa unisse a outro tetraedro, como acontece, já que cada íon de oxigênio requer duas unidades de valência positiva para satisfazer sua carga elétrica. Desta maneira, cada um deve está em contato com dois íons Si4+ para formar uma estrutura balanceada, a qual pode representar-se esquematicamente como se ver na Fig. 12.

Fig. 12 As camadas de oxigênio e hidroxila se apresentam adjacentes nas estruturas. As bolas neutras representam hidróxidos.

No octaedro de alumínio (A106), o cátion central Al3+ só satura a metade da valência de cada oxigênio, o que possibilita que dois octaedros de alumínio se unam a um vértice de tetraedro de silício.

Em realidade, a segunda regra de Pauling2 3, é a expressão da tendência de qualquer estrutura a adotar uma configuração com energia potencial mínima em que as cargas de um íon se neutralizem para onde seja possível com as cargas dos íons adjacentes. Isto proporciona uma distribuição simétrica de ligações de igual força ao redor de cada cátion. No entanto, as forças de ligação associadas a um ânion determinado não requer serem iguais, sendo a única restrição que a soma seja igual ou aproximadamente igual à valência do ânion. É por isso que nas estruturas mistas, com uniões de silício e alumínio ao oxigênio, a valência -2 do ultimo deve ser satisfeita por contribuições de silício e alumínio.

Se Ze designa a carga do cátion e N seu número de coordenação, se verifica que a força eletrostática de ligação é s = Ze/N. Uma estrutura deve ser mecanicamente estável e eletricamente neutra e, portanto, a valência dos ânions deve ser igual a soma das forças eletrostática de ligação dos cátions, a seguir:

sendo – S a carga do ânion. Deste modo, um ion O2- com S = 2 pode ser neutralizado por duas ligações com Si4+ tetraédrico, posto que sSi ou bem seja neutralizado por um com Si4+ e dois com Al3+ octaédrico, posto que SAl = 3/6 ou por um com Si e três com Mg2+ octaédrico, pois sMg = 2/6, etc.

A presença de arestas compartilhadas, e particularmente faces compartilhadas por dois poliedros aniônicos coordenados, faz com que a estrutura diminua sua estabilidade.

Esta regra se deriva do eixo de que uma aresta ou uma face comum a dos poliedros exige maior proximidade dos cátions, aumentando, portanto, a energia potencial do sistema em relação aos poliedros que compartilham só vértices. Tal efeito é mais acentuado quanto maior seja a carga do cátion e menos seu numero de coordenação. Por esta razão, em geral os tetraedros de silício compartilham só um vértice enquanto que os octaedros de titânio (TiO6) podem ter arestas comuns e os octaedros de alumínio ( AlO6) chegam a compartilhar faces.

Em um cristal que contem cátions diferentes, aqueles que têm valência elevada e um numero de coordenação pequeno, não mostram tendência para compartilhar elementos poliedricos . Esta é a causa dos tetraedros (SiO4) 4 - junten-se apenas pelos vértices quando são silicatos.

e. O número de contituintes do tipo essencialmente diferente em um cristal tende a ser pequeno.

Esta regra chamada "regra da parcimônia", é derivada do princípio de que toda a estrutura tende a ter um estado com um teor mínimo de energia potencial. Um grande número de diferentes constituintes é uma estrutura complexa, que a existência de descontinuidades e stress origina-se uma energia potencial elevada e, consequentemente, uma estrutura instável.

Como Robredo, a expressão designa de "tipo de componente essencialmente diferente", diz respeito a espécies químicas mas Crystallographic configurações, neste sentido, silício e alumínio em coordenação tetraedrica representam apenas um constituinte, como também o alumínio, ferro, magnésio, lítio e outros, feito em coordenação octaedrica. Assim, embora muitos silicatos, tais como o montmorilonoides, podem conter um grande número de elementos químicos, o número de eleitores cristalograficos é relativamente pequeno.

AGRUPAMENTO DE ESFERAS EM FORMA DE COMPACTAS REDES CRISTALINAS

Todos os cátions de um cristal estão rodeados por um número de ânions, muitas vezes de tamanho maior. Daquelas unidades, consistindo apenas de alguns íons, formam-se redes cristalinas. Um cristal pode ter cações de uma ou várias classes e, portanto, consistem em estruturas cristalográficas de um ou vários tipos. As articulações entre estas unidades coordenadas devem respeitar o princípio de Pauling, que cada íon e sua valencia devem ser respeitadas completamente, pelo contato com um número suficiente de íons de carga oposta.

Fig.1. Número de coordenação e sua relação mínima entre os raios de cátions e ânions.

Fonte: Do assunto Cristalografia e Cristaloquimica mandado por Profª Agna Almeida Menezes

A formação de uma rede cristalina deve aderir aos princípios acima e também satisfazer um terceiro requisito: o agrupamento de íons na rede deve ser compacto ou fechado, caso contrário, o pacote não pode ser coerente.

Fig.2. Uma estrutura cristalina é formada de uma rede (estrutura geométrica)+ base( distribuição dos átomos em cada ponto da rede)= Estrutura Cristalina dos minerais. 

Fonte: Fonte: Do assunto Cristalografia e Cristaloquimica mandado por Profª Agna Almeida Menezes

Um agrupamento compacto é que uma forma de distribuição equidimensional de objetos no espaço. Tal distribuição é alcançada quando cada objeto está em contato real com o número máximo de objetos iguais. É um exemplo desse fenômeno natural uma colméia em conformidade com as leis econômicas da natureza. 

Um aglomerado compacto de esferas de igual tamanho permite que cada esfera tem seis vizinhos contíguos, em uma camada de agrupamento compacto bidimensional, e doze se a camada é compacta tridimensional.

Na Fig. 3 são duas camadas de esferas no agrupamento compacto. Fig. 13a mostra uma camada de esferas distribuídos por pontos uma praça NET. Como esferas 2-dimensionais são transformadas em círculos, o "pertencimento" para cada área do círculo é um quadrado cuja área é 4r2, onde estão o raio. Se a área real do círculo é π r2 , então, a eficiência com que o espaço disponível é ocupado é dado pelo quociente da área duas:

Fig. 3 Eficiência na ocupação do espaço. Em (a), esferas em um quadrado reticulado; (b) distribuídos em áreas reticulado triangular.

Na Fig. 3b Mostra uma camada de esferas distribuídos por um reticulado de pontos triangular. Área de associado com cada círculo é um hexágono formado por 12 triângulos, cada um deles possui uma área de:

A área do hexágono é doze vezes a área de um triângulo, ou seja e a eficiência do uso do espaço nesta camada é dada pela relação:

Eficiência = 90,7%

Maior eficiência no uso dos dois espaço dimensional não é possível, desde que, mais do que seis círculos não podem ser colocados em contato próximo de outra do mesmo tamanho. Por esta razão, deve concluir-se que a distribuição das zonas indicadas na Fig. 3b é o compacto só é possível agrupar em duas dimensões e tal disposição é chamada camada de clustering hexagonal fechada. (Azaroff).

O agrupamento de íons em um cristal tende para o máximo (em número) como este dá maior estabilidade à estrutura. Mesmos átomos tendem a ocupar espaço mínimo com íons maiores, que constituem a rede fundamental, agrupada para que haja uma separação mínima no retículo. Para entender melhor o máximo teórico de agrupamento deve considerar apenas as grandes esferas (ânions) e cátions omitidos, em silicatos são considerados apenas o oxigênio.

Se muitos campos estão em um avião, ou camada, automaticamente terão como você pode ver na Fig. 4A, ou seja, como seria uma série de bolas do mesmo tamanho foram ocupar o mínimo espaço possível. Essa disposição é alcançada em uma única camada de esferas quando seus centros são triângulos equiláteros, para que cada um está rodeado por seis anos. Cada esfera toca outro dois no seu eixo horizontal e dois em cada uma das linhas oblíquas. As áreas são dispostas ao longo de uma série de eixos paralelos dispostos em três direções de acordo com ângulos de 60 ° e exatamente equivalentes. As linhas formam uma distribuição hexagonal, o que constitui possível mais densa aglomeração. Conforme indicado na Fig. 15, ao redor de cada área ali estão seis cruzamentos, assimilável para triângulos equiláteros. Ver o lado horizontal, três destes triângulos têm seu vértice para baixo e três acima. Para facilitar isso, diz que é em torno de cada área existem três e três cruzes ∆ .

Para formar uma rede espacial, série de aviões de esferas no agrupamento compacto deve ser colocado no outro então que ocupam as três dimensões do espaço. São formadas por camadas podem ser representadas por letras, como esferas de camadas e camadas de esferas B. Se A é a primeira camada de segunda camada das áreas B, compacto agrupamento, pode ser colocado no primeiro dia, para que cada área b situa-se entre as três esferas da. nestas condições de baixa uma terceira camada de C, semelhante às duas primeiras áreas, pode ser posicionado sobre o segundo (áreas B), com duas opções de localização em relação a camada A. Cada área da camada C, você deve jogar três de camada B imediatamente abaixo dele, mas estes podem ser já ser: em posições diretamente nas áreas de uma camada, então, a estrutura tem cada terceira camada idêntica ao primeiro com uma seqüência de esferas ABAB que é conhecido como cluster hexagonal compacta, ou, b. se a terceira camada é um novo e totalmente diferentes das camadas A e B, a seqüência ABCABC é criada. Esta ordem de forma de uma pirâmide, que é conhecida como agrupamento compacto cúbico, em que cada área da camada C está localizada diretamente sobre a lacuna deixada por três áreas de uma camada.

Fig. 4. A representação, em duas dimensões, a embalagem compacta de esferas. (a): camada de esferas em embalagens mais compactas. (b): dois sobrepõem camadas. Você pode ver que ainda é possível colocar uma terceira camada sobre os dois anteriores, na posição C ou em uma posição. (C) mostra uma seqüência de duas camadas sucessivas em embalagem compacta hex: ABABABAB...(d): três camadas sucessivas - A, B, C,-no empacotamento mais compacto, seguindo uma sequência AABCABCABC...

Fig. 5. Seis esferas em torno de um centro integracao folhas seis cavidades como pequenos triângulos eqüiláteros, dos quais três são direcionados para cima e três para baixo.

Na Fig. 6 exemplos de clusterização cúbicos compacto ABCABC sequência e uma sequência simples de compacto hexagonal de ABAB cluster duas camadas podem ser vistos.

É comum que uma simples sequência tipo originário de ABC série alter na série cúbico... ABCABC-ABACBACBACBA... comum que é simétrica em relação a um avião e que faz com que um gêmeo cristal, das suas faces de acordo com (111), freqüentes em cristais cúbicos de metais (Amoros).

Um outro tipo de agrupamento de esferas ocorre quando são distribuídos de forma que seus centros estão nos vértices de um cubo e um do mesmo tamanho, localizado no centro do cubo jogando o resto. Esta estrutura mais aberta é chamada agrupamento cúbico centrado do corpo.

Fig. 6. Cúbicos compactas (a) e hexagonais compactas (b) áreas de embalagem.

Apesar de compacto agrupamento as estruturas de cristal ideal, raramente é cumprida na prática. Unidades de coordenação que constituem o retículo podem falsear, a introdução de um cátion de tamanho grande ou não simétrico. No entanto, muitos cristais são anions em posições que estão mais perto do agrupamento compacto, embora sempre é um pouco mais aberto do que o ideal e outros são francamente distorcidas (Searle e Grimashaw)

REDES E ESTRUTURA CRISTALINA

A idealização geométrica que um cristal consiste em um pontos de classificação regular no espaço, ao contrário do conceito de Haüy, que considerava o cristal como originado por um grupo de unidades elementares do ranking. A gestão regular de tais pontos no espaço é o que definimos como rede. A Fig. 1 apresenta um exemplo bidimensional. Não há dúvida que um entrelaçado de linhas pode ser diferente, unindo os pontos da rede e é dividido em diferentes células unitárias.

Fig. 1. Rede bidimensional quadrada e células elementares.

Para descrever cada dois vetores de célula A e B, são necessárias para dividir uma rede espacial tridimensional em células de unidade que exigiriam três vetores a, b e c, tais vetores de tradução definem as bordas da célula primitiva e sua periodicidade no espaço e não substituindo pontos ou nós da rede espacial de átomos ou grupos de átomos atingirá a estrutura cristalina.

Todo avião de retículo-determina um paralelogramo de gerador, malha ou rede que pode ser paralelogramico, quadrada ou rectangular, rômbico. Paralelogramo gerador é definido pelas dimensões dos seus lados e ângulos que se formam entre si, como mostra a Fig. 2.

Os elementos constitutivos do cristal ter nas três dimensões do espaço, originam uma rede tridimensional, chamada rede de espaço ou estereocristalina. Um exemplo de rede tridimensional, mostrado na Fig. 1 do proximo assunto. Cristalografia, o objeto que se repete chama-se razão.

Enquanto a taxa de repetência de rede bidimensional é determinada pelo retículo paralelogramica, a retícula de paralelopipedica rede espacial determina isso.

Fig. 2. Tipos de rede bidimensional: Paralelogramica, retangular, quadrado e diamante.

REPRESENTAÇÃO DE UMA REDE: CONCEITO DE CÉLULA UNITÁRIA.

Como indicado acima, duas traduções não-paralelo definido um avião de treliça e três traduções não coplanares definido um espaço reticular. Exige saber qual par ou trio que traduções devem ser escolhidas para descrever as redes. Na verdade, há um número infinito de escolhas para cada tradução desde uma linha para um dois pontos na rede é uma tradução do retículo. A Fig. 2 do proximo assunto, mostra um avião de treliça e algumas das opções possíveis. Se você escolher pares de traduções como d1 , d2 ou3d,4d, é dito que definem uma célula primitiva, assim chamada porque um ponto da rede (átomo ou grupo de átomos) é associado com cada célula.

As células primitivas podem ser desenhadas em duas formas:

a. é considerado que cada rede nó pertence igualmente a quatro células adjacentes, como mostra a Fig. 1. Desta forma apenas parte de cada nó pertence a uma célula e uma vez que tem quatro cantos cada tem quatro desses partidos, cuja área total adicionado é equivalente a um ponto cheio.

b. Alternativamente, mover ligeiramente qualquer célula primitiva da Fig. 1, obviamente esse ponto de uma treliça pode cair dentro da área de qualquer célula primitiva.

Por seu turno, a célula definida por d5 e6 d contém um ponto de retículo dentro da célula, bem como outro ponto compartilhado pelos cantos. Tal arranjo é chamado de várias células, das quais existem muitos tipos, duplos, triplos e outros, dependendo de qual contêm duas, três ou mais pontos de grade, contando todos os pontos nos cantos e no interior da célula.

Fig. 1. Alguns exemplos de células primitivas (1-d ­2d; d3- d4) e não primitivo (d.5-6 d)).

Todas as células primitivas tenham a mesma área. Embora a Fig. 1 representa essas duas dimensões, idênticos princípios podem ser aplicados na construção de células tridimensionais.

Geralmente a célula unitária é escolhida de modo que sua forma revela-se a simetria da rede e pode ou não ser primitivo.

Qualquer célula pode ser escolhida como unitário, uma vez que toda a rede pode gerar repetindo como uma unidade por traduções, seguindo seus eixos. Todo cristal pode ser construído pela repetição de um motivo de cristal que contém um número relativamente pequeno átomos, uma e outra vez no espaço. 

Dado que a célula unitária contém informações completas sobre a distribuição dos átomos, a célula pode ser usada para definir uma estrutura. Uma estrutura pode, no entanto, ser descrito por um número infinito de tipos diferentes de células de unidade (várias células), como mostra a Fig. 2.

Fig. 2. (a): uma estrutura de cristal descrita pela repetição de uma célula única unidade do ranking. (b): a unidade de célula depois que ele foi transferido para uma nova posição. (c): célula unitária escolhida para estruturar, mais pequenos ou maiores. (d): uma forma de estrutura de célula unidade diferente (de acordo com Holden).

A maneira pela qual a célula unidade escolhida pode variar em movimento (Fig.2b), alterando o seu tamanho (Fig. 2-c) ou mudar sua forma (Fig.2d). O único requisito para uma célula unitária é construir a estrutura de cristal como réplicas do mesmo se move de um lado para o outro, para que eles enchem o espaço de cristal.

A célula unitária é apenas um do número infinito de possibilidades que cumpre este requisito (Holden).

DESCRIÇÃO DOS CRISTAIS.

Uma estrutura de cristal bidimensional pode ser descrita por duas estradas. A primeira permite que você construa o vidro pela repetição ordenada de células de unidade, conforme descrito acima. A segunda consiste em considerar o vidro como uma combinação de muitas traduções de redes consistentes, dispostas paralelamente uns aos outros e com apenas um tipo de átomos em suas knots.

O cristal Fig. 1 foi construído a partir de tais traduções das redes, que um tipo de que ela é composta de círculos (átomos de espécies A) e os outros dois por cruzes (os átomos da espécie B).

Métodos, células da unidade e transporte de redes, são utilizados na descrição dos cristais e quando aplicado para definir um cristal verifica que nem todos os sólidos podem ser considerados cristais. Assim, vidros e plásticos não podem formar através de certos deslocamentos paralelos, condição estiver satisfeito inteiramente com os cristais, embora não seja considerado como tamanho finito.

Fig. 1. Estrutura de um cristal bidimensional. À esquerda você pode ver uma única célula elementar. As traduções da rede listados acima, bem.

A Fig. 2 mostra uma simples distribuição tridimensional de átomos. Na Fig. 2a é observada a representação normal da rede, na qual, desenho aviões através de centros de gravidade dos átomos são redes de aviões de cristal. No Fig.2b e 2 c Note como um cristal pode ser construído a partir do agrupamento de aviões de cristal, onde d é a distância entre os planos. Como visto na Fig.2b, a distância d1 é maior do que quando o grupo de redes cristalinas corre paralelo a uma das faces da célula unidade três restrições. Qualquer outro conjunto de aviões reticulares tem distâncias menos entre eles, o Fig.2c (Whitte) por exemplo a d2 .

Fig. 2. Uma simples rede tridimensional (a) e sua representação em termos de dois conjuntos de planos diferentes, com distância interplanares d1 e d2. (De acordo com Whitte).

As dimensões da célula unidade referidos eixos de um ponto considerado como a fonte e o ângulo entre esses eixos, são constantes reticuladas ou paramétricos da cela unitária. Normalmente, em vez dos eixos X, Y, Z são usadas as dimensões a, b e c de forma que:

a. É a dimensão da unidade de célula, ao longo do eixo x;

b. é a dimensão da célula unidade ao longo do eixo e;

c. É a dimensão da unidade de célula, ao longo do eixo z;

No que diz respeito a ângulos, há algumas convenções (Fig. 3).

α é o ângulo entre b e c (em frente ao eixo para);

β é o ângulo entre c e um (de frente para o eixo b);

γ é o ângulo entre a e b (oposto ao eixo c).

Fig. 3. Convenção sobre os ângulos.

Fonte: Fonte: Do assunto Cristalografia e Cristaloquimica mandado por Profª Agna Almeida Menezes

Os três Crystallographic pode conceber com três vetores não coplanares que definem uma rede. Qualquer outra tradução da rede pode, por esta razão, representado pela soma vetorial destes três eixos. A Fig. 4 mostra dois essas traduções em uma rede de duas dimensões:

t1= 2a + 1b

t2= 1a + 4b

Note que qualquer paralelo a t2 tradução é também a tradução de t2 , independentemente do seu ponto de origem.

Fig. 4 A representação vectorial de eixos.

Uma rede de três dimensões, qualquer tradução pode ser representada pela soma vetorial:

t = ua + vb + wc

Desde que um dado um, b e c rede, fazer não mudar a direção de tradução t pode ser definida por três coeficientes inteiros da equação acima, u, v e w. O uso da taquigrafia [uvw] é convencional para especificar uma direção de tradução em uma rede (Azaroff).

O conceito de célula unitária é ligeiramente diferente nos filossilicatos. Nestes minerais a combinação de uma folha octaédrica de alumina ou magnésia com oxigênio e hidroxila e uma ou duas folhas tetrahedral de silício com oxigênio é conhecida com o nome de camada única. A maioria dos minerais de argila consiste essas camadas de unidade empilhadas em paralelo com o outro.

Dentro de cada camada única, alguma estrutura de unidade repete-se no sentido lateral e, por simplicidade, esta unidade é chamada de célula unitária. Crystallographically, esta célula estende-se de um avião em uma camada uniforme até o nível correspondente em outro paralelo para a camada anterior. Uma disposição desta natureza pode ser vista no botão. Como veremos na descrição da estrutura dos filossilicatos, para definir uma única célula, deve ser considerada a camada uniforme de empilhamento. Caulinita, por exemplo, consiste de uma camada (uma folha octaédrica + uma folha tetraédrica), mas a dickite, consiste de duas camadas simples e nacrite seis. O tamanho da unidade de célula é variável e dependente da espécie.

Fig.5.Representação esquemática do tipo de células de unidade de minerais de argila 1:1 e 2:1.

Na Fig. 5 representam-se esquematicamente, uma estrutura da caulinita e outra de montmorilonita.

É interessante destacar a quantidade de informação que contém um esquema de células unitárias. Van Olpehn² ², inclui as seguintes:

A fórmula da célula unitária e seu peso molecular;

As distância entre os planos que passam através do centro dos átomos;

As dimensões da célula unitária;

A distância entre um plano determinado em uma célula e seu homólogo na célula unitária seguinte.

SIMETRIA CRISTALINA

Posto que os cristais resultam da ordenação regular das partículas que os constituem, surgem uma série de elementos de simetria que se manifestam não só no desenvolvimento das faces mas também em todas as propriedades físicas, incluindo a condutibilidade térmica e elétrica, a refração, dentre outros.

A simetria se expressa através das chamadas operações de simetria, as quais transformam o cristal em uma imagem de si mesmo. Estas operações de simetria resultam da relação dos cristais com os elementos de simetria, que são: a. eixos de rotação, b. planos de simetria, c. centros de simetria, d. eixos de rotação de inversão, esquematicamente representado na Fig. 28 e que se expressam de acordo com a definição de Herman e Maugin, (citada por Brown⁶).

As operações de simetria podem aplicar-se a um cristal particular, a uma molécula ou a uma região em torna de um ponto em uma rede cristalina. Quando se aplicam a um ponto (grupo pontual) do espaço, este está fixo e por isso não podem incluir-se dentro destas operações as traduções.

Fig. 28. Exemplo de elementos de simetria: (a) planos de reflexão, (b) eixos de rotação, (c) centro de simetria, (d) eixo duplo de rotação e inversão.

Centros de simetria ou centro de inversão 

Este centro designado por 1->, S2 ou i, é um ponto situado no centro do cristal, que segue a regra de que toda reta que passa por esse centro e termina na superfície do cristal ou poliedro, se divida em duas partes iguais. Centros de simetria se apresentam apenas nos cristais centralizados (cf. Fig. 28c). Um ponto é um centro de simetria se, para cada vetor de posição d, tomando d a partir do centro de simetria, existe outro vetor de posição idêntica, de modo que: d=-d.

Todo cristal que tenha pares de planos paralelos tem um centro de simetria. É o caso das redes de Bravais.

Eixo de simetria

Representa uma reta que passa pelo centro do cristal e que tem a propriedade de que, ao se girar o cristal em uma volta, apresenta posições que se repetem. Considere-se, por exemplo, uma célula unitária de cloreto de sódio (cf. Fig. 29) de simetria cúbica. Se efetuam-se rotações de 90° em torno das retas que unem os centros das faces A A’, a disposição dos elementos materiais do poliedro é absolutamente idêntica à que havia antes do giro. Se gira-se 120° ao redor de B B’ ou de 180° ao redor de C C’, se repete a mesma figura e as linhas sobre as quais roda o cristal com seus eixos. O número de posições repetidas dá a ordem de simetria do eixo que pode ser 2, 3, 4 e 6, isto é, eixos binários (como C C’), terciários (como B B’) e quaternário (como A A’). Eixos sexternários se produzem por rotações de 60° nos poliedros hexagonais.

Usam-se os símbolos O, O, Δ, ◊,octaedro, internacionalmente para representar eixos de simetria bidimensionais que repitam a posição original a cada giro de 360° (2π/1: eixos primários), 180° (2π/2: eixos binários), 120° (2π/3: eixos terciários), 90° (2π/4: eixos quaternários) e 60° (2π/6 eixos sexternários) respectivamente.

Os eixos de classificam em principais (A) e secundários (E). Entre os primeiros se incluem aqueles que têm dois ou mais eixos binários perpendiculares a ele e os demais são secundários.

No caso do cubo, se têm três eixos quaternários (3A4 = ⃞) desde o centro de uma face à oposta, quatro eixos terciários (4E3 = Δ) desde um vértice à sua antípoda e 6 eixos binários (6E² = Ο) desde o centro de uma aresta ao centro de sua oposta paralela.

Fig. 29. Eixos de simetria de rotação de um cristal cúbico.

Fonte: UNED – Universidade Nacional de Educación a Distancia

Plano de simetria

É um plano que divide o cristal eu duas porções que se comportam entre si como objeto e sua imagem. Na Fig. 30 se veem planos de simetria principais e secundários, em um cristal do sistema regular ou cúbico.

Fig. 30. Planos de simetria em um cristal cúbico, sistema regular.

FONTE: hiru.com

Eixo de rotação-inversão

Assim se chama a combinação de uma rotação sobre um eixo com uma inversão, divida a um centro de simetria. Se indica com um traço sobre o símbolo do eixo. As operações possíveis são , , , ou . Como pode se ver na Fig. 31, o eixo vertical é por sua vez um eixo quaternário de rotação inversão (4). A face superior P1 pode se coincidir com P1 por rotação de 90° ao redor desse eixo mais uma inversão ao redor do ponto central.

Fig. 31. Eixo duplo de rotação-inversão. Exemplo de um cristal de calcopirita, CuFeS2.

Constância dos ângulos diedros 

Sabe-se que em todo cristal se apresentam 3 elementos: faces, que são superfícies planas que os delimitam; arestas ou ângulos diedros, formados pela interseção de duas faces e vértices, que são os pontos onde se encontram três ou mais arestas. Destes elementos o mais importante é o ângulo diedro, já que as faces, ainda que com o desenvolvimento podem adquirir formas e tamanhos diferentes, não mudam sua posição relativa, isto é, a aresta permanece invariável. Esta regra, enunciada por Lisle em 1783, dita que “as faces de um cristal podem variar em sua figura e dimensões relativas, mas a inclinação delas é constante e invariável para cada espécie” (Azaroff³). Na calcita, por exemplo, o ângulo entre as faces do romboedro é de 74°55’.

Esta regra pode ser considerada como a mais fundamental da cristalografia e é a base de todo cálculo e constantes de caracterização específica dos cristais.